Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$

Etapa 1

Complete o quadrado de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 2

Substitua ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $x^{2} + x$ na equação $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - 4 y = 60$

Etapa 3

Mova $- \frac{1}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{4}$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 60 + \frac{1}{4}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $y^{2} - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Etapa 4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 4.3.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 4.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Etapa 4.4.2.1.1.6.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Etapa 5

Substitua ${(y - 2)}^{2} - 4$ por $y^{2} - 4 y$ na equação $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 60 + \frac{1}{4}$

Etapa 6

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + 4$

Etapa 7

Simplifique $60 + \frac{1}{4} + 4$ .

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Etapa 7.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 7.1.1

Escreva $60$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + 4$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{60}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\frac{60}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Etapa 7.1.4

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.1.6

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $60$ por $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 16}{4}$

Etapa 7.4

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.4.1

Some $240$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{241 + 16}{4}$

Etapa 7.4.2

Some $241$ e $16$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{257}{4}$

Etapa 8

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 9

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{\sqrt{257}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 2$

Etapa 10

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Etapa 11

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Raio: $\frac{\sqrt{257}}{2}$

Etapa 12