Cálculo Exemplos

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $x$ de $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $x$ de $- 2 (1 + \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- 1 - \ln (x^{2})$ .

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Etapa 6.3.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 6.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 6.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 6.3.4

Reescreva $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ como $- (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$