Cálculo Exemplos

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{5}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.9

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.10

Mova $x^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ como ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{9}{5}}$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Etapa 2.10

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

Etapa 2.11

Multiplique.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Etapa 2.11.3

Mova $x^{- \frac{9}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$