Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2}}{2 x + 2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{2 x + 2} d x$

Etapa 4

Divida $x^{2}$ por $2 x + 2$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 4.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 4.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 9

Deixe $u = 2 x + 2$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 2 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 9.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 9.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 9.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 10.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$