Cálculo Exemplos

$y = {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$ movendo $x e^{x}$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x e^{x} \ln (x^{3} + 1)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x e^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie.

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Etapa 3.2.4.1

Combine $\frac{1}{x^{3} + 1}$ e $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^{3} + 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.2

Combine $\frac{x}{x^{3} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.6

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.6.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.6.2

Combine $3$ e $\frac{x e^{x}}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.4.6.3

Combine $\frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x}) x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x^{1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2 + 1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{3} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.2.8.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 3.2.9

Para escrever $\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \frac{\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11

Simplifique.

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Etapa 3.2.11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.11.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.11.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + (\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.2

Expanda $(\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.11.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.11.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.11.1.1.3.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.11.1.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3 + 1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3.1.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3.2

Multiplique $\ln (x^{3} + 1)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \cdot \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.1.3.3

Multiplique $\ln (x^{3} + 1)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.1.2

Reordene os fatores em $3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 3.2.11.2

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1^{3}} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 5.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 5.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ e ${(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$ .

$y' = \frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $\frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$y' = \frac{{(x^{3} + 1)}^{x e^{x}} (3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$