Cálculo Exemplos

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Etapa 1.3.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.3

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $\sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Fatore $2$ de $- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.4.2.4

Divida $- \sin (- \frac{x}{2})$ por $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Como $\sin (- \frac{x}{2})$ é uma função ímpar, reescreva $\sin (- \frac{x}{2})$ como $- \sin (\frac{x}{2})$ .

$- - \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $- - \sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Etapa 6

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 8.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - 0)$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Etapa 9

A solução para a equação $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Etapa 11.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Etapa 11.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Etapa 11.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

Etapa 11.1.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{\cos (0)}{2}$

Etapa 11.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 12

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Divida $0$ por $2$ .

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

Etapa 13.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Etapa 13.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Etapa 13.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 13.2.5

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = 2 π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Etapa 15.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{\cos (π)}{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

Etapa 15.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 15.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 16

$x = 2 π$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2 π$ é um máximo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = 2 π$ .

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Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $2 π$ na expressão.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Etapa 17.2.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

Etapa 17.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

Etapa 17.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.2.4

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 17.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

Etapa 17.2.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (2 π) = 2$

Etapa 17.2.5

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ .

$(0, - 2)$ é um mínimo local

$(2 π, 2)$ é um máximo local

Etapa 19