Cálculo Exemplos

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Etapa 1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \csc (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.4

Diferencie.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.1.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.4.5.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Etapa 2.1.4.5.2

Reordene os fatores de $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 3

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$