Cálculo Exemplos

$y' = x + y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

Etapa 2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

Etapa 3

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 3.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 3.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 4

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

Etapa 4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

Etapa 5

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

Etapa 6

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

Etapa 7

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

Etapa 8

Integre o lado direito.

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Etapa 8.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Etapa 8.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Etapa 8.4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 8.4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Etapa 8.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Etapa 8.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Etapa 8.7

Reescreva $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ como $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

Etapa 8.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

Etapa 9

Divida cada termo em $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 9.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.3.1.1.2

Divida $- x$ por $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 9.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$