Cálculo Exemplos

$y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.8.3

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 4.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 4.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

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Etapa 4.13.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Etapa 4.13.2

Combine $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.13.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.13.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.14

Simplifique.

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Etapa 4.14.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3

Multiplique o numerador e o denominador da fração por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.14.3.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3.2

Combine.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.14.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.5

Cancele o fator comum de ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.14.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 4.14.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.6

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.14.7.1

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.14.7.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.7.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Etapa 4.14.7.1.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.14.7.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 4.14.7.2

Simplifique ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 + x^{2}}$

Etapa 4.14.7.3

Reordene os termos.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$