Cálculo Exemplos

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $θ$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = \sin (θ)$ . Depois, $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , então, $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = \sin (θ)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 3

Fatore $\cos^{4} (u_{1})$ .

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Etapa 7

Expanda ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ como $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7.5

Mova ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7.6

Mova ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.11

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Etapa 7.13

Some $2$ e $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Etapa 7.14

Subtraia ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Etapa 7.15

Reordene $- 2 {u_{2}}^{2}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.16

Mova $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{4}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

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Etapa 13.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Etapa 13.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Etapa 13.2

Simplifique.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$