Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} x^{- 2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{2}^{t}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $t$ e em $2$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 2^{- 1}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t}$ se aproxima de $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Avalie o limite.

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Etapa 5.4.1

Avalie o limite de $\frac{1}{2}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2

Some $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$