Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Etapa 6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Etapa 6.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Etapa 6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Etapa 6.6

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 8.1.2

Multiplique $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Etapa 8.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Avalie $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ em $e$ e em $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

Etapa 10.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida $\ln (1)$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

Etapa 10.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

Etapa 10.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

Etapa 10.2.2.4

Para escrever $- (- \ln (1) - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

Etapa 10.2.2.5

Combine $- (- \ln (1) - 1)$ e $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Etapa 10.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Etapa 10.2.2.7

Para escrever $- e^{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Etapa 10.2.2.8

Combine $- e^{- 1}$ e $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Etapa 10.2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.10

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.12

Subtraia $1$ de $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.13

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 10.2.2.15

Combine $- 2$ e $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 10.2.2.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 11.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

Etapa 11.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

Etapa 11.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

Etapa 11.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

Etapa 11.6

Multiplique $e$ por $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

Etapa 11.7

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Forma decimal:

$- 0.52848223 \dots$