Cálculo Exemplos

$\int \frac{7 x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Etapa 1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int \frac{x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 3}$

Etapa 2.1.2

$\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum de $2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.4.2

Divida $(B) (2 x - 3)$ por $1$ .

$x = A x + 2 A + (B) (2 x - 3)$

Etapa 2.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot - 3$

Etapa 2.1.6.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot - 3$

Etapa 2.1.6.7

Mova $- 3$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 B x - 3 B$

Etapa 2.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Mova $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 x B - 3 B$

Etapa 2.1.7.2

Mova $2 A$ .

$x = A x + 2 x B + 2 A - 3 B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + 2 B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 2 A - 3 B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$0 = 2 A - 3 B$

Etapa 2.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - 2 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 2 A - 3 B$ por $1 - 2 B$ .

$0 = 2 (1 - 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique $2 (1 - 2 B) - 3 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 = 2 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Subtraia $3 B$ de $- 4 B$ .

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3

Resolva $B$ em $0 = 2 - 7 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $2 - 7 B = 0$ .

$2 - 7 B = 0$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3.3

Divida cada termo em $- 7 B = - 2$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 7 B = - 2$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{2}{7}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - 2 B$ por $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - 2 (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Simplifique $1 - 2 (\frac{2}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 2 (\frac{2}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{7 - 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.4.2.1.2.3

Subtraia $4$ de $7$ .

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{3}{7}, B = \frac{2}{7}$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{7}}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $\frac{1}{2 x - 3}$ .

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Etapa 2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$7 \int \frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7 (x + 2)} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$7 (\int \frac{3}{7 (2 x - 3)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{3}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{7}$ para fora da integral.

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 x - 3} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 2 x - 3$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 2 x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$7 (\frac{3}{7} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{7}$ .

$7 (\frac{3}{2 \cdot 7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$7 (\frac{3}{14} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Etapa 10

Como $\frac{2}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{7}$ para fora da integral.

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 11.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$7 (\frac{3}{14} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x - 3$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{3}{14}$ e $\ln (| 2 x - 3 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{2}{7}$ e $\ln (| x + 2 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}) + C$

Etapa 15.2

Para escrever $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Etapa 15.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2}) + C$

Etapa 15.3.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14}) + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14} + C$

Etapa 15.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

Fatore $7$ de $14$ .

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 (2)} + C$

Etapa 15.5.2

Cancele o fator comum.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2} + C$

Etapa 15.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 15.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)}{2} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)) + C$