Cálculo Exemplos

$y = \ln (| \sin (x) |)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | \sin (x) |$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $| \sin (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $| \sin (x) |$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $| u_{2} |$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ por $\frac{1}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.9

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

Etapa 3.10

Combine $\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Reordene os termos.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Etapa 3.11.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.11.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.11.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.11.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.3.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 3.11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 3.11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.11.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \cot (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$