Cálculo Exemplos

$\log (1 + x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Etapa 2.5

Combine frações.

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Etapa 2.5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)} x$

Etapa 2.5.2

Combine $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (10)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\ln (10)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (10) + x^{2} \ln (10)}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$