Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $\frac{1}{2^{4 x}}$ como ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = - 4 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Etapa 3.3.3.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Etapa 3.3.3.3

Fatore o negativo.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Etapa 3.3.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$