Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.2.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.10

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3.5

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.5.1

Mova $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3.5.2

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x e^{- x}$ de $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 5.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.6

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $- x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(0)}^{2} e^{- (0)} - 4 \cdot 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- (0)} - 4 \cdot 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} - 4 \cdot 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 4 \cdot 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 4 \cdot 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Etapa 9.1.10

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 e^{- (0)}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Etapa 11.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Etapa 11.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(2)}^{2} e^{- (2)} - 4 \cdot 2 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 e^{- (2)} - 4 \cdot 2 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 e^{- 2} - 4 \cdot 2 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} - 4 \cdot 2 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.4

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 4 \cdot 2 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- (2)} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.8

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- (2)}$

Etapa 13.1.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 13.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 13.1.12

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 13.2

Combine frações.

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Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 14

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 4 e^{- (2)}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 4 e^{- 2}$

Etapa 15.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 15.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (2) = \frac{4}{e^{2}}$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(2, \frac{4}{e^{2}})$ é um máximo local

Etapa 17