Cálculo Exemplos

$y = - {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

$- (4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 ({(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 5 x + 3])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5 + 0)$

Etapa 3.3.10

Some $- 4 x + 5$ e $0$ .

$- 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 {(- 2 x^{2} + 5 x + 3)}^{3} (- 4 x + 5)$