Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \ln (x) + 1$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \ln (x) + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\ln (x) + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x) + 1$ .

$2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ .

$F (x) =$ $2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$