Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x - x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 - 2 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 2 x + 6$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x + 6 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 - 2 x$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 x + 6$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 6 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 6$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 2 x = - 6$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 6$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $- 6$ por $- 2$ .

$x = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2$

Etapa 9

$x = 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 6 (3) - {(3)}^{2}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$f (3) = 18 - {(3)}^{2}$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 18 - 1 \cdot 9$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = 18 - 9$

Etapa 10.2.2

Subtraia $9$ de $18$ .

$f (3) = 9$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $9$ .

$y = 9$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x - x^{2}$ .

$(3, 9)$ é um máximo local

Etapa 12