Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Etapa 1

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \csc (x)$ . Depois, $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , então, $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \csc (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Etapa 2.1.3

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 2.5

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Etapa 3

Reescreva $- 1 u$ como $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $1$ e em $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 8.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Etapa 8.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 8.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 8.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Etapa 8.2.2.5

Avalie o expoente.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Etapa 8.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 8.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 8.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 8.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Etapa 8.2.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 8.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{1}{2})$

Etapa 8.2.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Etapa 8.2.11

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Etapa 8.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$

Forma de número misto:

$- 1 \frac{1}{2}$