Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x + 3) - \ln (5)}{x - 2}$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to 2} x + 3)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (2 + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Some $2$ e $3$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 3}{5}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x + 3}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\frac{5}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x + 3}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.7.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique $\frac{1}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 2.3.15

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + 0}$

Etapa 2.3.16

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{2 + 3}$

Etapa 5

Some $2$ e $3$ .

$\frac{1}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{5}$

Forma decimal:

$0.2$