Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ como ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.7.2

Combine ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 4.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

Etapa 4.12

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

Etapa 4.13

Simplifique.

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Etapa 4.13.1

Reordene os fatores de $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ .

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.4

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.5

Multiplique $- 2 x + 6$ por $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.6

Fatore $2$ de $- 2 x + 6$ .

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Etapa 4.13.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.6.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.6.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.8

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.10

Reescreva $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.13.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$