Cálculo Exemplos

$e^{x} \cdot e^{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $e^{x} \cdot e^{x + 1}$ como uma função.

$f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} \cdot e^{x + 1} d x$

Etapa 4

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x + 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{x + x + 1} d x$

Etapa 4.2

Some $x$ e $x$ .

$\int e^{2 x + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$