Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.4

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- x^{2} - (2 x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x - 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 2$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x - 2$ .

$- 2 x - 2$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x - 2 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x - 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 2 x = 2$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $- 2 x = 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $2$ por $- 2$ .

$x = - 1$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - 2 \cdot - 4 - 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = 8 - 2$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$f'' (- 4) = 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 - 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8