Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $50$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$\frac{50 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$\frac{50 - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $50$ de $50$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 15}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 15}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $15$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 15}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5 - 1 \cdot 15}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{0}{15 - 1 \cdot 15}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $15$ de $15$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 50$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.5

Some $4 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{4}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to 5} x$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot 5$

Etapa 4

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot 5$ .

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Etapa 4.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3}$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{20}{3}$

Forma decimal:

$6.\overline{6}$