Cálculo Exemplos

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Etapa 1

Como $18$ é constante com relação a $x$ , mova $18$ para fora da integral.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Depois, $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \tan^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Some $0$ e $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores de $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$