Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0$ .

$0$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Etapa 7

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\infty$

Etapa 8

Como os valores críticos esquerdo e direito não são iguais, o limite não existe.

$Não existe$