Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x^{2} + x$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$x = - \frac{1}{14}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{1}{14})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{14}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.5

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.6

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.2.2.6.1

Fatore $7$ de $196$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

Etapa 3.2.3

Para escrever $- \frac{1}{14}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $28$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{14}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $14$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

Etapa 3.2.6

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

Etapa 3.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

Etapa 3.2.8

A resposta final é $- \frac{1}{28}$ .

$- \frac{1}{28}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

Etapa 5