Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.8

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 2.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

Etapa 2.4.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.2.9

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 (2) - 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 - 6$

Etapa 9.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 2)$ na primeira derivada $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.2.1.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.2.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

Etapa 10.2.2.2.2

Divida $12$ por $2$ .

$f' (0) = 6$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.1.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.2.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

Etapa 10.3.2.2.2

Divida $12$ por $2$ .

$f' (4) = 6$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11