Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Combine frações.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Etapa 1.2.4.3

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Combine frações.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Etapa 4.1.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Etapa 4.1.2.4.3

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{1}$

Etapa 9.3

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Etapa 11.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

Etapa 13