Cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $1 + x^{4}$ por $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $3$ e $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 5

Subtraia $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 6

Combine $2$ e $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$