Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \ln (y)$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , então, $y d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \ln (y)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Etapa 1.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 2.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 2.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Etapa 4

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $2$ e em $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Etapa 6.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Etapa 6.3

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (2)$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2)$

Forma decimal:

$0.69314718 \dots$