Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine $\frac{- 4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19 x^{2}$ em relação a $x$ é $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 (2 x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $19$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.6

Combine $\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [38 x]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $38$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $38 x$ em relação a $x$ é $38 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 38 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 38 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $38$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 38$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{2} + 38$ .

$- 2 x^{2} + 38$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{2} + 38 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 38 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $38$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 38$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 38$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 38$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 38}{- 2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $- 38$ por $- 2$ .

$x^{2} = 19$

Etapa 2.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{19}$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{19}$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{19}$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{19}) \cup (- \sqrt{19}, \sqrt{19}) \cup (\sqrt{19}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \sqrt{19})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f'' (- 7) = - 2 {(- 7)}^{2} + 38$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f'' (- 7) = - 2 \cdot 49 + 38$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $49$ .

$f'' (- 7) = - 98 + 38$

Etapa 5.2.2

Some $- 98$ e $38$ .

$f'' (- 7) = - 60$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \sqrt{19})$ porque $f'' (- 7)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{19})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 38$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 38$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 38$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $38$ .

$f'' (0) = 38$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $38$ .

$38$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(\sqrt{19}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f'' (7) = - 2 {(7)}^{2} + 38$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f'' (7) = - 2 \cdot 49 + 38$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $49$ .

$f'' (7) = - 98 + 38$

Etapa 7.2.2

Some $- 98$ e $38$ .

$f'' (7) = - 60$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\sqrt{19}, \infty)$ porque $f'' (7)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\sqrt{19}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{19})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\sqrt{19}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9