Cálculo Exemplos

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{3} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{2} = - 6$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 6$ por $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - 6 {(- 4)}^{2} + 6$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - 6 \cdot 16 + 6$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 96 + 6$

Etapa 4.2.2

Some $- 96$ e $6$ .

$f'' (- 4) = - 90$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 90$ .

$- 90$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - 6 {(4)}^{2} + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = - 6 \cdot 16 + 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$f'' (4) = - 96 + 6$

Etapa 6.2.2

Some $- 96$ e $6$ .

$f'' (4) = - 90$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 90$ .

$- 90$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8