Cálculo Exemplos

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Etapa 2

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 3

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 3.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 3.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Etapa 3.4

Remova os parênteses.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Etapa 3.5

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Etapa 3.5.2

Fatore $e^{r x}$ de $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Etapa 3.5.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Etapa 3.5.4

Fatore $e^{r x}$ de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Etapa 3.5.5

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Etapa 3.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Etapa 4

Resolva $r$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $r^{2} + 3 r - 4$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Etapa 4.5

Defina $r - 1$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $r - 1$ como igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$r = 1$

Etapa 4.6

Defina $r + 4$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $r + 4$ como igual a $0$ .

$r + 4 = 0$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$r = - 4$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(r - 1) (r + 4) = 0$ verdadeiro.

$r = 1, - 4$

Etapa 5

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Etapa 6

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$