Cálculo Exemplos

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 6$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Etapa 2

Expanda $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.6

Some $1$ e $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 2.8

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Etapa 2.9

Some $12 u^{2}$ e $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Etapa 6

Como $13$ é constante com relação a $u$ , mova $13$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 8.2.3

Combine $13$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$