Cálculo Exemplos

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x$ de $- 7 x + 5 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 9$ é constante com relação a $x$ , mova $- 9$ para fora da integral.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = - 9 x$ . Depois, $d u = - 9 d x$ , então, $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = - 9 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{9}$ e $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 11.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Etapa 13

Reordene $- 7$ e $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Etapa 14

Divida $5 x^{4} - 7$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Etapa 14.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Etapa 14.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Etapa 14.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{4} + 0$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Etapa 14.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Etapa 14.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 14.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Etapa 15

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Etapa 16

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Etapa 17

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Etapa 18

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Etapa 19

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Etapa 20

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 21

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 22

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 23

Simplifique.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Etapa 24

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Etapa 25

Reordene os termos.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Etapa 26

A resposta é a primitiva da função $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$