Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ como $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ .

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ movendo $\frac{1}{x - 2}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x - 2}$ e $\ln (\frac{x}{2})$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Etapa 3.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

Etapa 3.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.7.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.7.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Etapa 3.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Etapa 3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Etapa 3.3.12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Etapa 3.3.13

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$1.64872127 \dots$