Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.2

Simplifique $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 1.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Etapa 1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$y = - 4 + 2$

Etapa 1.2.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$y = - 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 3 x^{2} - 10 x$ e $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Etapa 2.6.1.3

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$- 3 + 10$

Etapa 2.6.2

Some $- 3$ e $10$ .

$7$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $7$ e um ponto determinado $(- 1, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $7 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = 7 x + 7 - 2$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$y = 7 x + 5$

Etapa 4