Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $t$ de $t - t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

Etapa 1.1.3

Fatore $t$ de $- t^{2}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

Etapa 1.1.4

Fatore $t$ de $t \cdot 1 + t (- t)$ .

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

Etapa 3

Deixe $u = 1 - t$ . Depois, $d u = - d t$ , então, $- d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = 1 - t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - t$ .

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$