Cálculo Exemplos

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin^{4} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $4 \cos (x) \sin (x)$ de $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $4 \cos (x) \sin (x)$ de $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 4.1.2

Fatore $4 \cos (x) \sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Etapa 4.1.3

Fatore $4 \cos (x) \sin (x)$ de $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Etapa 4.2

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Etapa 4.3

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Etapa 4.4

Fatore $- 1$ de $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Etapa 4.5

Reorganize os termos.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Etapa 4.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$