Cálculo Exemplos

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 1

Escreva $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ como uma função.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = \sec (3 x)$ . Depois, $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = \sec (3 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

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Etapa 5.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Etapa 5.1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Reescreva $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Etapa 7.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Etapa 8

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$