Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ e $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.5

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.6

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.7.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.7.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.9.2

Some $3$ e $4$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.12

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.13

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.2.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.2.14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 6.2.2.15

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 6.2.2.16

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

Etapa 6.2.2.17

Some $0$ e $0$ .

$\frac{7}{6} - 0$

Etapa 6.2.2.18

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{7}{6} + 0$

Etapa 6.2.2.19

Some $\frac{7}{6}$ e $0$ .

$\frac{7}{6}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{6}$

Forma decimal:

$1.1\overline{6}$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{6}$

Etapa 8