Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{8}{x^{2} - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{x}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{8}{x^{2} - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.10.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.3

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.10.1.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.1.6

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.10.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 (x - 2)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x (x^{2} - 4)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.7

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.11

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.12

Multiplique $x^{2} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4.13

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.2.3

Some $8$ e $4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $x - 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Etapa 2.3.14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.15

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $x^{2} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17

Simplifique.

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Etapa 2.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.17.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.17.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.1.4

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.7.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Etapa 3.1.3.7.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 3.1.3.7.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.5

Some $- 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 4 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.7.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.8.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

Etapa 3.3.10

Some $6 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6 x - 4$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Etapa 4.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ e $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $3 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $- 1$ de $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $- (- 3 \cdot 2 + 2)$ como $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 6.1.5

Fatore $2$ de $2$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 6.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.6.1

Fatore $2$ de $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Etapa 6.1.6.2

Cancele o fator comum.

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Etapa 6.1.6.3

Reescreva a expressão.

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

Etapa 6.3

Some $- 3$ e $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

Etapa 6.5

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 6.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Etapa 6.6

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Etapa 6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2}$