Cálculo Exemplos

$\frac{4}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4}{x^{2} - 4}$ como uma função.

$f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2} - 4} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x$

Etapa 5

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 5.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 5.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 5.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 5.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 5.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 5.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 5.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.1.7.4.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Etapa 5.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Etapa 5.1.7.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Etapa 5.1.8

Mova $- 2 A$ .

$1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Etapa 5.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 5.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 5.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 5.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 5.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 5.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 5.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 5.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

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Etapa 5.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 2 A + 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique $- 2 (- B) + 2 B$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Some $2 B$ e $2 B$ .

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.3

Resolva $B$ em $1 = 4 B$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva a equação como $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Etapa 5.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 5.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Etapa 5.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 5.5.3

Mova $4$ para a esquerda de $x + 2$ .

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 5.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.5.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$4 \int - \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int - \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Etapa 9

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 12.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Combine $\ln (| x + 2 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Etapa 16.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| x - 2 |)$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4}) + C$

Etapa 16.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 16.3.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Etapa 16.3.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C$