Cálculo Exemplos

$\sin (x) \cdot e^{x}$

Etapa 1

Escreva $\sin (x) \cdot e^{x}$ como uma função.

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Etapa 5

Reordene $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 8

Simplifique multiplicando.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 9

Ao resolver $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ , descobrimos que $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Etapa 10

Reescreva $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$