Cálculo Exemplos

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Etapa 1

Reordene $e^{- θ}$ e $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 θ)$ e $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Etapa 3

Como $- - 2$ é constante com relação a $θ$ , mova $- - 2$ para fora da integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- θ}$ e $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 θ)$ e $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 6

Como $- 1 \cdot 2$ é constante com relação a $θ$ , mova $- 1 \cdot 2$ para fora da integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Etapa 7

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Etapa 7.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 7.4

Multiplique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , descobrimos que $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ como $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Fatore $e^{- θ}$ de $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Fatore $e^{- θ}$ de $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $e^{- θ}$ de $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Etapa 9.2.1.3

Fatore $e^{- θ}$ de $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Etapa 9.2.4

Fatore $- 1$ de $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Etapa 9.2.5

Reescreva $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ como $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Etapa 9.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$