Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ movendo $\tan (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Etapa 3

Reescreva $\tan (x) \ln (\sin (x))$ como $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Etapa 4.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (\sin (x))$ diminui sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 4.1.3.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Etapa 4.1.3.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Etapa 4.1.3.1.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Etapa 4.1.3.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 4.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.4

Combine $\frac{1}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Etapa 4.3.5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Etapa 4.3.7

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Etapa 4.3.8

Simplifique.

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Etapa 4.3.8.1

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Etapa 4.3.8.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Etapa 4.3.9

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.10

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.11

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.12

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.14

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.15

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.16

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.17

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.19

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20

Simplifique.

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Etapa 4.3.20.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.20.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20.1.2

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20.1.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20.1.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.3.20.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Etapa 4.5

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Etapa 4.6.2.4

Divida $\cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Etapa 5.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Etapa 5.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Etapa 7.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$