Cálculo Exemplos

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Etapa 1

Divida $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ por $t^{2} + 3 t$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 t^{2} + 6 t + 0$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Etapa 5

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 5.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 5.1.1

Fatore $t$ de $t^{2} + 3 t$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $t$ de $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $t$ de $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

Etapa 5.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

Etapa 5.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum de $t + 3$ .

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Etapa 5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.5.2

Divida $t + 1$ por $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 5.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6.1.2

Divida $A (t + 3)$ por $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6.4

Cancele o fator comum de $t + 3$ .

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Etapa 5.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

Etapa 5.1.6.4.2

Divida $(B) (t)$ por $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

Etapa 5.1.7

Mova $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

Etapa 5.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 5.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 5.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $t$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 3 A$

Etapa 5.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

Etapa 5.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 5.3.1

Resolva $A$ em $1 = 3 A$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

Etapa 5.3.1.2

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Etapa 5.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Etapa 5.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Etapa 5.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{3}$ em cada equação.

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Etapa 5.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3

Resolva $B$ em $1 = \frac{1}{3} + B$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.3.2.1

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Etapa 5.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Etapa 9

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

Etapa 10

Deixe $u = t + 3$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = t + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

Etapa 10.1.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$